【移行】時空図：シリウスへの片道旅行を例に

最近、「從一到無窮大」を読んでいて、その中のミン氏の時空図に興味を持ちました。ちょうど天狼星への例があり、時空図で描いてみたいと思いました。問題を簡略化するため、ここでは天狼星から地球までの距離を 9 光年としますが、実際は約 8.6 光年です。同時に、図を描きやすくするために、縦軸の時間軸は年 × 光速で、横軸の空間軸は光年で表します。geogebraを使用してグラフを描画します。（この記事は xlog に移行するための古いブログ記事です）

出発前の時空図#

図のように、線分 g（CAD）は宇宙船を表し、A 点は重心です。直線 f は天狼星 B の世界線を表しています。半直線 h（AE）は A の光錐を表しています。半直線 i（AF）は宇宙船の将来の世界線を表し、その速度は tanα=0.9 倍光速です。

出発後の時空図#

図のように、グラフを描画しやすくするために、α を小さくしました。直線 AF と直線 AL は、宇宙船を基準にした新しい時空座標系を構成しています。

x' が 0 の直線 AF は新しい縦軸であり、t' が 0 の直線 AL は新しい横軸です。両者は AE 軸に対して対称です。
AB は新しい座標系での幾何学的位置は（AL、AK）であり、物理的な位置は（ALβ、AKβ）です。

いくつかの興味深い発見#

AB の時空距離は元々9 であり、現在の AB' の時空距離も 9 です。つまり、 $9^2 + (0i)^2 = 20.65^2 + (-18.58i)^2$ です。
AF、AL 上の単位に対応する幾何学的な長さはすべて 1/β に変わります。つまり、 $\lvert\overrightarrow{AF}\rvert\beta = t'_{ \overrightarrow{AF'}} \quad \lvert\overrightarrow{AL}\rvert\beta = x'_{ \overrightarrow{AB'}}$ です。
出発した宇宙船の乗組員にとって、旅行にかかる時間はわずか 4.36 年であり、10 年未満です。つまり、 $t'_{ \overrightarrow{AF'}} = 4.36 \lt 10 = t_{ \overrightarrow{AF}}$ です。
出発した宇宙船の乗組員にとって、天狼星までの距離は 3.92 光年であり、9 光年未満です。B' 点の天狼星は 18.58 年前の幻影であり、現在の天狼星は M' 点の天狼星です。つまり、 $x'_{ \overrightarrow{AM'}} =(\frac{ \lvert\overrightarrow{AB}\rvert}{cos\alpha})\beta = 3.92 \lt 9 = x_{ \overrightarrow{AB}}$ です。
出発した宇宙船の乗組員にとって、天狼星に近づく速度 v は 3.92/4.36 = 0.9 倍光速であり、外部から見た宇宙船の飛行速度と一致しています。
宇宙船は外部の空間の長さを $x_{\overrightarrow{AB}} = 9$ と感じていますが、それは空間の長さ $x'_{\overrightarrow{AB'}} = \lvert\overrightarrow{AL}\rvert\beta = 20.65$ に変わり、γ 倍に長くなります。外部の定規も長くなります。
宇宙船は外部の時間の長さ $t_{\overrightarrow{AF}} = 10$ と感じていますが、それは時間の長さ $t'_{ \overrightarrow{AF'}} = \lvert\overrightarrow{AF}\rvert\beta = 4.36$ に変わり、1/γ に短くなります。外部の時間は速くなります。
宇宙船は外部の「尺長い時計速い」と感じていますが、外部は宇宙船上の「尺短い時計遅い」と感じます。
4 次元時空距離の不変性に基づいて、宇宙船が感じる旅の時間の消費を簡単に計算することができます。宇宙船の参照系での AF' の時空距離は、外部の参照系での AF の時空距離と同じです。つまり、 $(i\lvert\overrightarrow{AF'}\rvert)^2 = (i\lvert\overrightarrow{AF}\rvert\beta)^2=AB^2+(iBF)^2$ です。